Question

15．某中學(xué)校本課程開設(shè)了A，B，C，D共4門選修課，每個(gè)學(xué)生必須且只能選修1門選修課，現(xiàn)有該校的甲、乙、丙3名學(xué)生．
（1）求這3名學(xué)生選修課所有選法的總數(shù)；
（2）求恰有2門選修課沒有被這3名學(xué)生選擇的概率；
（3）求A選修課被這3名學(xué)生選擇的人數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）每個(gè)學(xué)生有四個(gè)不同的選擇，由此根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，能求出這3名學(xué)生選修課所有選法的總數(shù)．
（2）由已知利用排列組合知識能求出恰有2門選修課這3名學(xué)生都沒選擇的概率．
（3）A選修課被這3名學(xué)生選擇的人數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）每個(gè)學(xué)生有四個(gè)不同的選擇，
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，
這3名學(xué)生選修課所有選法的總數(shù)N=4×4×4=64．
（2）恰有2門選修課這3名學(xué)生都沒選擇的概率為：
$p=\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{2}{A}_{2}^{2}}{{4}^{3}}$=$\frac{2×3×3×2}{4×4×4}$=$\frac{9}{16}$．
（3）A選修課被這3名學(xué)生選擇的人數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{3}^{3}}{{4}^{3}}$=$\frac{27}{64}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}•{3}^{2}}{{4}^{3}}$=$\frac{27}{64}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}•3}{{4}^{3}}$=$\frac{9}{64}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{4}^{3}}$=$\frac{1}{64}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

Eξ=$0×\frac{27}{64}+1×\frac{27}{64}+2×\frac{9}{64}+3×\frac{1}{64}$=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意計(jì)算原理、排列組合知識的合理運(yùn)用．