Question

7．已知函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-2cos2x）；
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）求函數(shù)的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的定義域，結合函數(shù)奇偶性的定義進行判斷即可．
（2）根據(jù)復合函數(shù)單調性之間的關系進行求解即可．

解答 解：（1）由1-2cos2x＞0得cos2x＜$\frac{1}{2}$，則$\frac{π}{3}$+2kπ＜2x＜$\frac{5π}{3}$+2kπ，即kπ+$\frac{π}{6}$＜x＜kπ+$\frac{5π}{6}$，
則定義域關于原點對稱，則f（-x）=y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-2cos2x）=f（x），
則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）設t=1-2cos2x，則函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$t為減函數(shù)，
當$\frac{π}{3}$+2kπ＜2x≤π+2kπ，即kπ+$\frac{π}{6}$＜x≤$\frac{π}{2}$+kπ時，y=cos2x為減函數(shù)，y=1-2cos2x為增函數(shù)，y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-2cos2x）為減函數(shù)，即單調遞減區(qū)間為（kπ+$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$+kπ]，k∈Z，
當π+2kπ≤2x＜$\frac{5π}{3}$++2kπ，即$\frac{π}{2}$+kπ≤x＜kπ+$\frac{5π}{6}$時，y=cos2x為增函數(shù)，y=1-2cos2x為減函數(shù)，y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-2cos2x）為增函數(shù)，即單調遞增區(qū)間為[$\frac{π}{2}$+kπ，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷以及函數(shù)單調區(qū)間的求解，利用復合函數(shù)單調性之間的關系是解決本題的關鍵．