Question

19．已知函數f（x）=ax²-$\frac{a}{2}$+1，g（x）=x+$\frac{a}{x}$．
（1）f（x）＞0在x∈[1，2）上恒成立，求a的取值范圍；
（2）當a＞0時，對任意的x₁∈[1，2]，存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把不等式f（x）＞0恒成立轉化為ax²-$\frac{a}{2}$+1＞0恒成立，分離參數a后得到a$＞\frac{-1}{{x}^{2}-\frac{1}{2}}$，求出不等式右邊在[1，2）上的最大值得答案；
（2）當a＞0時，對任意的x₁∈[1，2]，存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≥g（x₂）恒成立，等價于f（x）_min≥g（x）_min在區(qū)間[1，2]上成立，利用單調性求出f（x）的最小值，再分段求出g（x）的最小值，列關于a的不等式組求得答案．

解答 解：（1）f（x）＞0?ax²-$\frac{a}{2}$+1＞0⇒a$＞\frac{-1}{{x}^{2}-\frac{1}{2}}$在x∈[1，2）上恒成立，
∵x∈[1，2），∴x²∈[1，4），${x}^{2}-\frac{1}{2}$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$），則$\frac{-1}{{x}^{2}-\frac{1}{2}}$∈[-2，$-\frac{2}{7}$），
∴a$≥-\frac{2}{7}$，
則a的取值范圍是[$-\frac{2}{7}，+∞$）；
（2）當a＞0時，對任意的x₁∈[1，2]，存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≥g（x₂）恒成立，
等價于f（x）_min≥g（x）_min在區(qū)間[1，2]上成立，
當a＞0時，函數f（x）在[1，2]上單調遞增，∴$f（x）_{min}=f（1）=1+\frac{a}{2}$，
$g（x）_{min}=\left\{\begin{array}{l}{1+a，0＜a＜1}\\{2\sqrt{2}a，1≤a≤4}\\{2+\frac{a}{2}，a＞4}\end{array}\right.$，
故$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{1+a≤1+\frac{a}{2}}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{a＞4}\\{2+\frac{a}{2}≤1+\frac{a}{2}}\end{array}\right.$②或$\left\{\begin{array}{l}{1≤a≤4}\\{2\sqrt{a}≤1+\frac{a}{2}}\end{array}\right.$③．
解①得，a∈∅；解②得，a∈∅；解③得1≤a≤4．
綜上，a的取值范圍為[1，4]．

點評 本題考查函數恒成立問題，考查了數學轉化思想方法，訓練了分離變量法，是中檔題．