Question

14．如果p₁•p₂=4（q₁+q₂），證明關(guān)于x的二次方程x²+p₁x+q₁=0，x²+p₂x+q₂=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根．

Answer 1

分析 至少有一個(gè)方程有實(shí)根的對(duì)立面是兩個(gè)方程都沒(méi)有根，由于正面解決此問(wèn)題分類(lèi)較多，而其對(duì)立面情況單一，故求解此類(lèi)問(wèn)題一般先假設(shè)所有方程都有實(shí)數(shù)根，然后由根的判別式解得方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根的a的取值范圍，其補(bǔ)集即為方程x²+p₁x+q₁=0與方程x²+p₂x+q₂=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，此種方法稱(chēng)為反證法．

解答 證明：假設(shè)原命題不成立，
即x²+p₁x+q₁=0與x²+p₂x+q₂=0都無(wú)實(shí)根．
∴△₁=p₁²-4q₁＜0，△₂=p₂²-4q₂＜0
兩式相加得：
p₁²+p₂²-4q₁-4q₂＜0，即p₁²+p₂²＜4（q₁+q₂）
又∵p₁p₂=4（q₁+q₂），∴p₁²+p₂²＜p₁p₂
即：（p₁-$\frac{1}{2}$p₂）²+$\frac{3}{4}$p₂²＜0，此式顯然不成立．
故假設(shè)不成立，原命題是正確的．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反證法，解題時(shí)要合理地運(yùn)用反證法的思想靈活轉(zhuǎn)化問(wèn)題，以達(dá)到簡(jiǎn)化解題的目的，在求解如本題這類(lèi)存在性問(wèn)題時(shí)，若發(fā)現(xiàn)正面的求解分類(lèi)較繁，而其對(duì)立面情況較少，不妨如本題采取求其反而成立時(shí)的參數(shù)的取值范圍，然后求此范圍的補(bǔ)集，即得所求范圍，本題中二個(gè)方程都是一元二次方程，故求解時(shí)注意根的判別式的運(yùn)用．