Question

9．設(shè)A，B分別是直線(xiàn)$y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$和$y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$上的動(dòng)點(diǎn)，且$|AB|=2\sqrt{2}$．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$．
（Ⅰ） 求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C₁；
（Ⅱ）一直雙曲線(xiàn)C₂以C₁的上頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，且一條漸近線(xiàn)方程為x+2y=0，求雙曲線(xiàn)C₂的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 設(shè)$A（{x_1}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}{x_1}），B（{x_2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}{x_2}）$，由$|AB|=2\sqrt{2}$，得（x₁-x₂）²+$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）²=8…①設(shè)P（x，y），由$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$．則$\left\{\begin{array}{l}x={x_1}+{x_2}\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{x_1}-{x_2}）\end{array}\right.$代入中①整理得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C₁
（Ⅱ）設(shè)雙曲線(xiàn)方程為$\frac{y^2}{m^2}-\frac{x^2}{n^2}=1$，由（Ⅰ）知，橢圓上頂點(diǎn)（0，2），所以m²+n²=4，由m+2n=0得${m^2}=\frac{4}{5}$，${n^2}=\frac{16}{5}$即可．

解答 解：（Ⅰ） 設(shè)$A（{x_1}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}{x_1}），B（{x_2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}{x_2}）$，
∵$|AB|=2\sqrt{2}$，∴（x₁-x₂）²+$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）²=8…①
設(shè)P（x，y），∵$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$．則$\left\{\begin{array}{l}x={x_1}+{x_2}\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{x_1}-{x_2}）\end{array}\right.$
代入中①整理得：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C₁：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（Ⅱ）設(shè)雙曲線(xiàn)方程為$\frac{y^2}{m^2}-\frac{x^2}{n^2}=1$，
由（Ⅰ）知，橢圓上頂點(diǎn)（0，2），
所以m²+n²=4，由x+2y=0得$y=\frac{1}{2}x$，∴$\frac{m}{n}=\frac{1}{2}$，
解得${m^2}=\frac{4}{5}$，${n^2}=\frac{16}{5}$
所以，雙曲線(xiàn)方程為$\frac{{5{y^2}}}{4}-\frac{{5{x^2}}}{16}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程，及已知雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)求雙曲線(xiàn)方程的方法，屬于中檔題．