Question

4．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C分別對應(yīng)邊a，b，c．若c²=（a-b）²+6，${S_{△ABC}}=\frac{3}{2}\sqrt{3}$，則角C=（　�。�

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{3}{4}π$
• D． $\frac{2}{3}π$

Answer 1

分析 由已知利用余弦定理可求cosC=1-$\frac{3}{ab}$，利用三角形面積公式可求sinC=$\frac{3\sqrt{3}}{ab}$，從而利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得sin（C+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由范圍C∈（0，π），可得：C+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求C的值．

解答 解：∵c²=（a-b）²+6，可得：a²+b²-c²=2ab-6，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=1-$\frac{3}{ab}$，①
又∵${S_{△ABC}}=\frac{3}{2}\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$absinC，可得：sinC=$\frac{3\sqrt{3}}{ab}$，②
∴由①②可得：cosC=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinC，化簡可得：sin（C+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵C∈（0，π），可得：C+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），
∴C+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，解得：C=$\frac{π}{3}$．
故選：A．

點評 本題主要考查了余弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．