Question

2．已知O為正三角形ABC內(nèi)一點，且滿足$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$+（1+λ）$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$，若△OAB的面積與△OAC的面積比值為3，則λ的值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 將條件變形為$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$=-λ（$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$），設BC，AC中點分別為D，E，根據(jù)向量加法的幾何意義得出O，D，E共線且OE=λOD．用三角形ABC的面積表示出△OAB與△OAC的面積，根據(jù)面積比列出方程解出λ．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$+（1+λ）$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$，∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$=-λ（$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$），
設AC，BC的中點分別為E，D，則$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OE}$，$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OD}$．
∴$\overrightarrow{OE}$=-λ$\overrightarrow{OD}$．
∴O，D，E三點共線，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$S_△ABC，S_△AOC=$\frac{λ}{λ+1}$S_△ACD=$\frac{1}{2}•\frac{λ}{λ+1}$S_△ABC，
∵S_△AOB=3S_△AOC，
∴$\frac{λ}{λ+1}=\frac{1}{3}$，解得$λ=\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了平面向量的線性運算的幾何意義，屬于中檔題．