Question

在△ABC中，三個內(nèi)角成等差數(shù)列，且A＜B＜C，則cosA•cosC的取值范圍是

（-

1

2

，

1

4

）

．

Answer 1

分析：由題意易得B的值為

π

3

，故C=

2π

3

-A，A∈（0，

π

3

），可把C用角A的形式表示，從而達到消元的目的，最后又三角函數(shù)公式可把問題化為函數(shù)y=-

1

4

+

1

2

sin(2A-

π

6

)，A∈（0，

π

3

）的取值范圍問題．

解答：解：∵△ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，
∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴3B=π，即B=

π

3

∴C=

2π

3

-A，A∈（0，

π

3

）
∴cosA•cosC=cosA•cos（

2π

3

-A）=cosA（-

1

2

cosA+

3

2

sinA）
=-

1

2

cos²A+

3

2

sinAcosA=-

1+cos2A

4

+

3

4

sin2A
=-

1

4

+

1

2

(

3

2

sin2A-

1

2

cos2A)=-

1

4

+

1

2

sin(2A-

π

6

)
∵A∈（0，

π

3

），∴2A∈（0，

2π

3

），（2A-

π

6

）∈（-

π

6

，

π

2

），
∴sin（2A-

π

6

）∈（-

1

2

，1），可得

1

2

sin（2A-

π

6

）∈（-

1

4

，

1

2

），
∴-

1

4

+

1

2

sin（2A-

π

6

）∈（-

1

2

，

1

4

），
故cosA•cosC的取值范圍是（-

1

2

，

1

4

），
故答案為：（-

1

2

，

1

4

）．

點評：本題為三角函數(shù)的取值范圍問題，把問題轉(zhuǎn)化為關于角A的三角函數(shù)是解決問題的關鍵，屬中檔題．