Question

6．2015年7月31日，國(guó)際奧委會(huì)在吉隆坡正式宣布2022年奧林匹克冬季奧運(yùn)會(huì)（簡(jiǎn)稱冬奧會(huì)）在北京和張家口兩個(gè)城市舉辦．某中學(xué)為了普及奧運(yùn)會(huì)知識(shí)，舉行了一次奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽．隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的成績(jī)，繪成如圖所示的莖葉圖，若規(guī)定成績(jī)?cè)?5分以上（包括75分）的學(xué)生定義為甲組，成績(jī)?cè)?5分以下（不包括75分）定義為乙組．
（1）求甲組學(xué)生的平均分；
（2）在這30名學(xué)生中，甲組學(xué)生中有男生7人，乙組學(xué)生中有女生12人，試問有沒有90%的把握認(rèn)為成績(jī)分在甲組或乙組與性別有關(guān)；
（3）①如果用分層抽樣的方法從甲組和乙組中抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人，那么至少有1人在甲組的概率是多少？
②用樣本估計(jì)總體，把頻率作為概率，若從該地區(qū)所有的中學(xué)（人數(shù)很多）中隨機(jī)選取3人，用ξ表示所選3人中甲組的人數(shù)，試寫出ξ的分布列，并求出ξ的數(shù)學(xué)期望．

P（K2＞k0）	0.100	0.050	0.010
K	2.706	3.841	6.635

Answer 1

分析 （1）利用莖葉圖能求出甲組學(xué)生的平均．
（2）作出勤率×2列聯(lián)表，由列聯(lián)表數(shù)據(jù)代入公式求出K²≈1.83＜2.706，從而得到?jīng)]有90%的把握認(rèn)為成績(jī)分在甲組或乙組與性別有關(guān)．
（3）①用A表示“至少有1 人在甲組”，利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出至少有1人在甲組的概率．
②由題意知，ξ～B（3，$\frac{2}{5}$），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）甲組學(xué)生的平均分：
$\overline{{x}_{甲}}$=$\frac{1}{12}$（75+75+76+76+78+80+81+81+82+84+87+91）=80.5．
（2）作出勤率×2列聯(lián)表，

	甲組	乙組	合計(jì)
男生	7	6	13
女生	5	12	17
合計(jì)	12	18	30

由列聯(lián)表數(shù)據(jù)代入公式得：
${K}^{2}=\frac{n（ab-bc）^{2}}{（a+b）（a+d）（b+d）}$≈1.83，
∵1.83＜2.706，
∴沒有90%的把握認(rèn)為成績(jī)分在甲組或乙組與性別有關(guān)．
（3）①用A表示“至少有1 人在甲組”，
則P（A）=1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{7}{10}$，
∴至少有1人在甲組的概率是$\frac{7}{10}$．
②由題意知，抽取的30名學(xué)生中有12名是甲組學(xué)生，
抽取1名學(xué)生是甲組學(xué)生的概率為$\frac{12}{30}$=$\frac{2}{5}$，
則從所有學(xué)生中抽取1名學(xué)生是甲組學(xué)生的概率是$\frac{2}{5}$，
又∵所取總體數(shù)量較多，
抽取3名學(xué)生可以看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，于是ξ～B（3，$\frac{2}{5}$），
由題意ξ的可能取值為0，1，2，3，
且P（ξ=k）=${C}_{3}^{k}（\frac{2}{5}）^{k}（1-\frac{2}{5}）^{3-k}$，k=0，1，2，3，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

Eξ=$3×\frac{2}{5}$=$\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查莖葉圖的應(yīng)用，考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．