Question

8．已知a，b，c，d都是正數，a²+b²+c²=d²，a+b+c=dx，則x的取值范圍是（1，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 根據題意，得${（\frac{a}8ogyyic）}^{2}$+${（\fraccc2ieqw）}^{2}$+${（\frac{c}2eiyg2w）}^{2}$=1，x=$\frac{a}goaqomg$+$\fracci8mgoe$+$\frac{c}kcgq44i$；利用換元法，設$\frac{a}qkseuca$=m，$\frac2sygim4$=n，$\frac{c}gswusey$=p，（m＞0，n＞0，p＞0），則m²+n²+p²=1，
求x=m+n+p的取值范圍即可；再利用柯西不等式以及放縮法即可求出m+n+p的取值范圍．

解答 解：∵a，b，c，d都是正數，a²+b²+c²=d²，
∴${（\frac{a}0e4w62k）}^{2}$+${（\fracyg40kqe）}^{2}$+${（\frac{c}eskamqe）}^{2}$=1；
又∵a+b+c=dx，
∴x=$\frac{a}86qqku6$+$\frac44mea0a$+$\frac{c}s4a0uya$；
設$\frac{a}aqau4qi$=m，$\fracsg4wioo$=n，$\frac{c}mqcsgug$=p，且m＞0，n＞0，p＞0，
則m²+n²+p²=1，
x=m+n+p；
由柯西不等式得：
3=（1²+1²+1²）•（m²+n²+p²）≥（1•m+1•n+1•p）²，
∴-$\sqrt{3}$≤m+n+p≤$\sqrt{3}$，當且僅當$\left\{\begin{array}{l}{m=n=p}\\{{m}^{2}{+n}^{2}{+p}^{2}=1}\end{array}\right.$，即m=n=p=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，取得最大值$\sqrt{3}$；
又∵m＞0，n＞0，p＞0，
∴（m+n+p）²=m²+n²+p²+2mn+2mp+2np＞m²+n²+p²=1，
∴m+n+p＞1；
綜上，1＜m+n+p≤$\sqrt{3}$，即x的取值范圍是（1，$\sqrt{3}$]．
故答案為：$（1，\sqrt{3}]$．

點評 本題考查了不等式的應用問題，也考查了換元法以及不等式放縮法的應用問題，是綜合性題目．