Question

11．已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且cosB+cosAcosC-$\sqrt{3}$sinAcosC=0．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若c=2時，求△ABC周長的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知等式可得sinAsinC=$\sqrt{3}$sinAcosC，由sinA≠0，可得tanC=$\sqrt{3}$，C為三角形內(nèi)角，可得C=$\frac{π}{3}$，即可求cosC的值．
（Ⅱ）由（1）可得cosC，sinC的值，利用余弦定理，基本不等式可得4≥ab，利用三角形面積公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵cosB=-cos（A+C）=sinAsinC-cosAcosC，
∴cosB+cosAcosC-$\sqrt{3}$sinAcosC=0，
∴可得：sinAsinC=$\sqrt{3}$sinAcosC，
∵A為三角形內(nèi)角，sinA≠0，
∴sinC=$\sqrt{3}$cosC，即：tanC=$\sqrt{3}$，C為三角形內(nèi)角，可得C=$\frac{π}{3}$，可求cosC=$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）∵c=2，由（Ⅰ）可得：cosC=$\frac{1}{2}$，sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴由余弦定理可得：4=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab（當且僅當a=b時等號成立），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，即△ABC周長的最大值為$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．