Question

2．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，首項a₁=a，公比為q（q≠0且q≠1）．
（1）推導(dǎo)證明：S_n=$\frac{{a（1-{q^n}）}}{1-q}$；
（2）等比數(shù)列{a_n}中，是否存在連續(xù)的三項：a_k、a_k+1、a_k+2，使得這三項成等差數(shù)列？若存在，求出符合條件的等比數(shù)列公比q的值，若不存在，說明理由；
（3）本題中，若a=q=2，已知數(shù)列{na_n}的前n項和T_n，是否存在正整數(shù)n，使得T_n≥2016？若存在，求出n的取值集合；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用錯位相減法真假求解即可．
（2）不存在存在連續(xù)的三項：a_k、a_k+1、a_k+2，使得這三項成等差數(shù)列．利用等差數(shù)列的等差中項列出關(guān)系式，推出矛盾結(jié)果．
（3）利用錯位相減法求出前n項和，通過數(shù)列的單調(diào)性判斷n=7與8時，推出結(jié)果即可．

解答 解：（1）∵S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1，①
∴qS_n=a₁q+a₁q²+a₁q³+…+a₁qⁿ，②
①-②可得（1-q）S_n=a₁-a₁qⁿ，
當q≠1時，上式兩邊同除以1-q可得S_n=$\frac{{a（1-{q^n}）}}{1-q}$，…5分
（2）不存在存在連續(xù)的三項：a_k、a_k+1、a_k+2，使得這三項成等差數(shù)列．
證明如下：若a_k、a_k+1、a_k+2成等差數(shù)列，則：$2{a_{k+1}}={a_k}+{a_{k+2}}⇒{a_k}（{q^2}-q+1）=0$
∵a_k≠0∴q²-q+1=0
而${q^2}-q+1={（q-\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{4}＞0$…8分
∴不存在存在連續(xù)的三項：a_k、a_k+1、a_k+2，使得這三項成等差數(shù)列．…10分
（2）T_n=1×2¹+2×2²+…+n×2ⁿ                 ①
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹　　　 ②
①-②得T_n=n×2ⁿ⁺¹-（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）=（n-1）2ⁿ⁺¹+2…13分
由于T_n是遞增的，當n=7時${T_7}=6×{2^8}+2＜2016$；
當n=8時${T_8}=7×{2^9}+2＞{2^{11}}＞2016$．
所以存在正整數(shù)n，使得T_n≥2016的取值集合為{n|n≥8，n∈N₊}-…16分．

點評 本題考查等比數(shù)列求和，數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．