Question

（本小題滿分12分）

已知橢圓上任一點P，由點P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q，點M在PQ上，且，點M的軌跡為C.

（Ⅰ）求曲線C的方程；

（Ⅱ）過點D（0，－2）作直線l與曲線C交于A、B兩點，設N是過點且平行于軸的直線上一動點，滿足（O為原點），問是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） ；（Ⅱ） 。

【解析】設M（x，y）是曲線C上任一點,根據,用M的坐標表示出P的坐標,然后根據點P在橢圓上,可求出點M的軌跡方程.

(II) 當直線l的斜率不存在時，顯然不滿足條件,所以設直線l的方程為y=kx－2,它與橢圓方程聯立消y后得到關于x的一元二次方程,然后因為，所以四邊形OANB為平行四邊形，

假設存在矩形OANB，則,即，

從而根據韋達定理可得到關于k的方程,求出k值,再驗證是否滿足判別式大于零.

（Ⅰ）設M（x，y）是曲線C上任一點，因為PM⊥x軸，，所以點P的坐標為（x，3y）   點P在橢圓上，所以，

因此曲線C的方程是                                …………5分

（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時，顯然不滿足條件

所以設直線l的方程為y=kx－2與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2），經N點平行x軸的直線方程為

 ，

  由

，       …………8分

 因為，所以四邊形OANB為平行四邊形，

假設存在矩形OANB，則

即，

所以

，       …………10分

設N（x0，y0），由，得

，即N點在直線，

所以存在四邊形OANB為矩形，直線l的方程為        …………12分