Question

設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，f（x）的圖象在點P（1，m）處的切線的斜率為-6，且當x=2時f（x）有極值．
（Ⅰ）求a、b、c、d的值；
（Ⅱ）求f（x）的所有極值．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲求實數(shù)a、b、c、d的值，利用在x=1處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數(shù)求出在x=1處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（II）把（1）求出的實數(shù)a、b、c、d的值代入導函數(shù)中確定出解析式，令導函數(shù)等于0求出x的值，根據(jù)x的值分區(qū)間討論導函數(shù)的正負，進而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極大值和極小值．
解答：解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，得f（-x）=-f（x）
∴，∴b=0，d=0．
∴，∴f'（x）=ax²+4c．
∴，即．∴a=2，c=-2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴f'（x）=2x²-8=2（x²-4）．
由f（x）＞0，得x²-4＞0，∴x＞2或x＜-2．

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	-		+		-
f（x）	↘	極小	↗	極大	↘

∴．
點評：此題考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性并根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，是一道中檔題．