Question

2．已知[1+log_（y+1）（$\frac{sinx}{1+sinx}$）]•[log_（4+sinx）（y+1）]=1．
（1）試將y表示為x的函數(shù)y=f（x），并求出定義域和值域；
（2）是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)g（x）=mf（x）-$\sqrt{f（x）}$+1有零點？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用對數(shù)運算得出（y+1）（$\frac{sinx}{1+sinx}$）=sinx+4，化簡得出y=$\frac{4}{sinx}$+sinx+4，再利用三角函數(shù)，對鉤函數(shù)求解即可．
（2）換元轉(zhuǎn)化為y=mn²-n+1，n∈[3，+∞），利用零點定義轉(zhuǎn)化為方程mn²-n+1=0，n∈[3，+∞），有解，最后再轉(zhuǎn)化為m=$-\frac{1}{{n}^{2}}$$+\frac{1}{n}$，$\frac{1}{n}$∈（0，$\frac{1}{3}$]利用得出函數(shù)性質(zhì)求解即可．

解答 解：（1）1+log_（y+1）（$\frac{sinx}{1+sinx}$）]•[log_（4+sinx）（y+1）]=1，
∴（y+1）（$\frac{sinx}{1+sinx}$）=sinx+4，
即y=$\frac{4}{sinx}$+sinx+4，
∵$\left\{\begin{array}{l}{\frac{sinx}{1+sinx}＞0}\\{4+sinx＞0}\end{array}\right.$
∴sinx＞0，2kπ＜x＜2kπ+π，k∈z
定義域：（2kπ，2kπ+π），k∈z，設(shè)t=sinx，t＞0，
∴y=$\frac{4}{t}$+t+4，0＜t≤1
∴根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出[9，∞），
∴值域：[9，+∞）
（2）∵g（x）=mf（x）-$\sqrt{f（x）}$+1
令n=$\sqrt{f（x）}$則n∈[3，+∞）
∴可得出；y=mn²-n+1，n∈[3，+∞）
即mn²-n+1=0，n∈[3，+∞），
m=$-\frac{1}{{n}^{2}}$$+\frac{1}{n}$，$\frac{1}{n}$∈（0，$\frac{1}{3}$]
0＜$-\frac{1}{{n}^{2}}$$+\frac{1}{n}$$≤\frac{2}{9}$，
∴0$＜m≤\frac{2}{9}$時，有零點．

點評 本題考察了利用構(gòu)造思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題求解函數(shù)零點問題，注意換元法，二次函數(shù)的性質(zhì)的運用．