Question

解下列不等式：
（1）(

1

2

)3x+1≤(

1

2

)x-2；（2）log₇3x＜log₇（x²-4）．

Answer 1

分析：（1）由于不等式兩邊的底數(shù)相等且小于1，我們可根據(jù)對應(yīng)的指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，進(jìn)而將不等式(

1

2

)3x+1≤(

1

2

)x-2轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于x的一元一次不等式，解不等式即可得到答案．
（2）由于不等式兩邊的底數(shù)相等且大于1，我們可根據(jù)對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的定義域，進(jìn)而將不等式log₇3x＜log₇（x²-4）轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于x的不等式組，解不等式組即可得到答案．

解答：解：（1）∵0＜

1

2

＜1，
∴y=（

1

2

）^x為減函數(shù)，
又∵(

1

2

)3x+1≤(

1

2

)x-2
∴3x+1≥x-2，（5分）
解得x≥-

3

2

．（8分）
故(

1

2

)3x+1≤(

1

2

)x-2的解集為[-

3

2

，+∞）
（2）∵7＞1
∴y=log₇x為增函數(shù)
又∵log₇3x＜log₇（x²-4）
∴

3x＞0 x2-4＞0 3x＜x2-4

（4分）
解得：x＞4．（8分）
故log₇3x＜log₇（x²-4）的解集為（4，+∞）

點評：本題考查的知識點是指數(shù)不等式與對數(shù)不等式的解法，掌握指數(shù)（對數(shù)）不等式解法的步驟是解答本題的關(guān)鍵．①將不等式兩邊底數(shù)化成一致（本題中兩邊底數(shù)已經(jīng)相等，省略此步驟）②分析底數(shù)與1的關(guān)系，并判斷對應(yīng)指數(shù)（對數(shù)）函數(shù)的單調(diào)性③根據(jù)對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式③對數(shù)不辭勞苦還要考慮真數(shù)必須大于0．