【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為，曲線 的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（1）直線過且與曲線相切，求直線的極坐標(biāo)方程；

（2）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，求曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的取值范圍．

【答案】（1）直線的極坐標(biāo)方程為或；（2）．

【解析】

試題分析：對于問題（1）可以先求出點(diǎn)的直角坐標(biāo)以及曲線的普通方程，利用直線過且與曲線相切，即可求直線的極坐標(biāo)方程；對問題（2）可以先根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)到圓心的距離，從而可求曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的取值范圍．

試題解析：（1）由題意得點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，曲線的一般方程為．

設(shè)直線的方程為，即，

∵直線過且與曲線 相切，∴，

即，解得，

∴直線的極坐標(biāo)方程為或，

（2）∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，∴點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，

則點(diǎn)到圓心的距離為，

曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，最大值為

曲線 上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的取值范圍為

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⑵將的圖象向右平移個單位，得到的圖象若關(guān)于的方程在上有唯一解，求實數(shù)的取值范圍．

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（1）求索道的長；

（2）問：乙出發(fā)多少后，乙在纜車上與甲的距離最短？

（3）為使兩位游客在處互相等待的時間不超過，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

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