【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)的最小值;
(2)若對任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,試求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)(2) (-3,+∞).
【解析】試題分析:(1) 先根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義確定函數(shù)在[1,+∞) 單調(diào)性:f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值取法:f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最小值為f(1)=. (2)不等式恒成立問題,一般利用變量分離轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題: a>-(x2+2x)的最大值,再根據(jù)二次函數(shù)最值求法得-(x2+2x)在[1,+∞)上為-3,即得實數(shù)a的取值范圍.
試題解析:(1)當時,f(x)=x++2,
設(shè)1≤x1<x2,則f(x2)-f(x1)=(x2-x1),Z+X+X+K]
∵1≤x1<x2,∴x2-x1>0,2x1x2>2,
∴,∴f(x2)-f(x1)>0,f(x1)<f(x2).
∴f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),∴f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最小值為f(1)=.
(2)在區(qū)間[1,+∞)上f(x)>0恒成立x2+2x+a>0恒成立.
設(shè)y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),
則函數(shù)y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù).
所以當x=1時,y取最小值,即ymin=3+a,
于是當且僅當ymin=3+a>0時,函數(shù)f(x)>0恒成立,故a>-3.即實數(shù)a的取值范圍是(-3,+∞).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某省兩相近重要城市之間人員交流頻繁,為了緩解交通壓力,特修一條專用鐵路,用一列火車作為交通車,已知該車每次拖4節(jié)車廂,一日能來回16次,如果每次拖7節(jié)車廂,則每日能來回10次.
(1)若每日來回的次數(shù)是車頭每次拖掛車廂節(jié)數(shù)的一次函數(shù),求此一次函數(shù)解析式:
(2)在(1)的條件下,每節(jié)車廂能載乘客110人.問這列火車每天來回多少次才能使運營人數(shù)最多?并求出每天最多運營人數(shù)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,以軸正半軸為始邊的銳角和鈍角的終邊分別與單位圓交于點,若點的橫坐標是,點的縱坐標是.
(1)求的值;
(2)求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,以坐標原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.已知點的極坐標為,曲線 的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)直線過且與曲線相切,求直線的極坐標方程;
(2)點與點關(guān)于軸對稱,求曲線上的點到點的距離的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一河南旅游團到安徽旅游.看到安徽有很多特色食品,其中水果類較有名氣的有:懷遠石榴、碭山梨、徽州青棗等19種,點心類較有名氣的有:一品玉帶糕、徽墨酥、八公山大救駕等38種,小吃類較有名氣的有:符離集燒雞、無為熏鴨、合肥龍蝦等57種.該旅游團的游客決定按分層抽樣的方法從這些特產(chǎn)中買6種帶給親朋品嘗.
(1)求應(yīng)從水果類、點心類、小吃類中分別買回的種數(shù);
(2)若某游客從買回的6種特產(chǎn)中隨機抽取2種送給自己的父母,
①列出所有可能的抽取結(jié)果;
②求抽取的2種特產(chǎn)均為小吃的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有8名奧運會志愿者,其中志愿者通曉日語,通曉俄語,通曉韓語.從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各名,組成一個小組.
(1)求被選中的概率;
(2)求和不全被選中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C1:與y軸交于O,A兩點,圓C2過O,A兩點,且直線C2O恰與圓C1相切;
(1)求圓C2的方程。
(2)若圓C2上一動點M,直線MO與圓C1的另一交點為N,在平面內(nèi)是否存在定點P使得PM=PN始終成立,若存在,求出定點坐標,若不存在,說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: ,圓: 的圓心在橢圓上,點到橢圓的右焦點的距離為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)過點作互相垂直的兩條直線,且交橢圓于兩點,直線交圓于, 兩點,且為的中點,求面積的取值范圍.
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