Question

【題目】已知點(diǎn)在拋物線 上， 點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為2，直線

與拋物線交于兩點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）若以為直徑的圓與軸相切，求該圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）拋物線y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線為，由拋物線定義和已知條件可知，由此能求出拋物線方程．
（Ⅱ）聯(lián)立，消x并化簡(jiǎn)整理得y2+8y-8b=0．依題意應(yīng)有△=64+32b>0，解得b>-2．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=-8，y1y2=-8b，設(shè)圓心Q（x0，y0），則應(yīng)有，因?yàn)橐?/span>AB為直徑的圓與x軸相切，得到圓半徑為r=|y0|=4，由此能夠推導(dǎo)出圓的方程．

試題解析：

（1）拋物線 的準(zhǔn)線為，

由拋物線定義和已知條件可知，

解得，故所求拋物線方程為.

（2）聯(lián)立，消并化簡(jiǎn)整理得.

依題意應(yīng)有，解得.

設(shè)，則，

設(shè)圓心，則應(yīng)有.

因?yàn)橐?/span>為直徑的圓與軸相切，得到圓半徑為，

.

所以，

解得.

所以，所以圓心為.

故所求圓的方程為.