Question

17．已知橢圓：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₁的直線l交橢圓于A，B兩點，若AF₂+BF₂的最大值為5，則橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．

Answer 1

分析 |AF₂|+|BF₂|=4a-|AB|=8-|AB|，根據(jù)|AF₂|+|BF₂|的最大值為5，可得|AB|的最小值為3．由題意可設(shè)直線l的方程為：my=x+c，（直線l的斜率為0不必考慮），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立可得：（b²m²+4）y²-2mcb²y+b²c²-4b²=0，再利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式即可得出．

解答 解：|AF₂|+|BF₂|=4a-|AB|=8-|AB|，
∵|AF₂|+|BF₂|的最大值為5，
∴|AB|的最小值為3．
由題意可設(shè)直線l的方程為：my=x+c，（直線l的斜率為0不必考慮），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+c}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為：（b²m²+4）y²-2mcb²y+b²c²-4b²=0，c²=4-b²．
∴y₁+y₂=$\frac{2mc^{2}}{^{2}{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{^{2}{c}^{2}-4^{2}}{^{2}{m}^{2}+4}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[\frac{4{m}^{2}{c}^{2}^{4}}{（^{2}{m}^{2}+4）^{2}}-\frac{4（^{2}{c}^{2}-4^{2}）}{^{2}{m}^{2}+4}]}$=$\frac{4^{2}（1+{m}^{2}）}{^{2}{m}^{2}+4}$，
當(dāng)m=0時，|AB|=b²；
當(dāng)m≠0時，|AB|=4+$\frac{4^{2}-16}{^{2}{m}^{2}+4}$＞b²．
∴b²=3．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
故答案為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．

點評 本題考查了橢圓與圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、弦長公式，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．