Question

5．如圖，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），A、B分別其左右頂點(diǎn)，直線AE交其右準(zhǔn)線CE于點(diǎn)E，交橢圓于點(diǎn)D（$\frac{1}{e}$，3），其中e為橢圓的離心率，B為線段OC的中點(diǎn)．圓C是以C點(diǎn)為圓心，CB長為半徑的圓，P為直線AE上任意一點(diǎn)，過P向圓C作切線，切點(diǎn)分別為M、N．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）證明：線段MN的中點(diǎn)在一個(gè)定圓上．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)滿足橢圓方程，以及離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)MN中點(diǎn)為P（x₀，y₀），當(dāng)x₀≠8時(shí)，求得直線CF與AE的交點(diǎn)，運(yùn)用三角形相似和兩點(diǎn)的距離公式，化簡整理可得中點(diǎn)的軌跡方程，再由x₀=8，求得F的坐標(biāo)，檢驗(yàn)即可得證．

解答 解：（1）由橢圓過點(diǎn)（$\frac{1}{e}$，3），且B為線段OC的中點(diǎn)，
即有e=$\frac{c}{a}$，$\frac{1}{{e}^{2}{a}^{2}}$+$\frac{9}{^{2}}$=1，$\frac{{a}^{2}}{c}$=2a，a²=b²+c²，
解得a=4，b=2$\sqrt{3}$，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1；
（2）證明：設(shè)MN中點(diǎn)為P（x₀，y₀），
當(dāng)x₀≠8時(shí)，直線CF：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-8}$x-$\frac{8{y}_{0}}{{x}_{0}-8}$，
直線CF與直線AE的交點(diǎn)為P（$\frac{24{y}_{0}}{2{y}_{0}-{x}_{0}+8}$-4，$\frac{12{y}_{0}}{2{y}_{0}-{x}_{0}+8}$），
△PCM∽△MCF，可得CP•CF=r²=16，即CP²•CF²=256，
即[（x₀-8）²+y₀²][（$\frac{12{x}_{0}-96}{2{y}_{0}-{x}_{0}+8}$）²+（$\frac{12{y}_{0}}{2{y}_{0}-{x}_{0}+8}$）²]=256，
化簡可得$\frac{（{x}_{0}-8）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}{2{y}_{0}-x+8}$=$\frac{4}{3}$，即有（x₀-$\frac{22}{3}$）²+（y₀-$\frac{4}{3}$）²=$\frac{20}{9}$；
當(dāng)x₀=8時(shí)，F(xiàn)（8，$\frac{8}{3}$），符合圓（x₀-$\frac{22}{3}$）²+（y₀-$\frac{4}{3}$）²=$\frac{20}{9}$；
綜上可得，線段MN的中點(diǎn)在一個(gè)定圓（x-$\frac{22}{3}$）²+（y-$\frac{4}{3}$）²=$\frac{20}{9}$上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查線段的中點(diǎn)的軌跡方程，注意運(yùn)用三角形相似和兩點(diǎn)的距離公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．