Question

19．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|（a＞0）．
（1）當a=2時，畫出函數(shù)f（x）的圖象，并寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若存在互不相等的三個實數(shù)x₁，x₂，x₃，使得f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），試求x₁+x₂+x₃的取值范圍；
（3）設函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值是g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

分析 （1）當a=2時，作函數(shù)f（x）=x|x-2|的圖象，從而寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）不妨設x₁＜x₂＜x₃，結合圖象可知，x₁+x₂=a，x₃＞a；從而可解得a＜x₃＜$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$a；從而解得．
（3）結合（2）中的討論，分三種情況討論g（a）的值，從而寫出表達式．

解答 解：（1）當a=2時，作函數(shù)f（x）=x|x-2|的圖象如下，

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1]，（2，+∞）；
（2）不妨設x₁＜x₂＜x₃，結合圖象可知，x₁+x₂=a，x₃＞a；
若x₃（x₃-a）=$\frac{a}{2}$•$\frac{a}{2}$，則x₃=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$a；
故a＜x₃＜$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$a；
故2a＜x₁+x₂+x₃＜$\frac{3+\sqrt{2}}{2}$a；
（3）結合（2）中的討論可知，
①當$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$a＜2，即0＜a＜4（$\sqrt{2}$-1）時，
g（a）=f（2）=2（2-a）；
②當2≤$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$a且a≤4，即4（$\sqrt{2}$-1）≤a≤4時，
g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$；
③當a＞4時，
g（a）=2|2-a|=2（a-2）；
綜上所述，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{2|a-2|，0＜a＜4（\sqrt{2}-1）或a＞4}\\{\frac{{a}^{2}}{4}，4（\sqrt{2}-1）≤a≤4}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了學生的作圖與應用圖象的能力，同時考查了分類討論的思想應用．