Question

已知向量=（cosx，0），=（0，sinx）．記函數(shù)f（x）=（+）²十sin2x．
（I）求函數(shù)f（x）的最小值及取最小值時(shí)x的集合；
（II）求函數(shù)f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得（+）²=1+2cos²x，再結(jié)合二倍角的余弦公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，得到f（x）=2sin（2x+）+2，最后根據(jù)正弦函數(shù)最值的結(jié)論，可得f（x）的最小值及取最小值時(shí)x的集合；
（2）根據(jù)（1）化簡(jiǎn)得的表達(dá)式，列出不等式-+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z），解此不等式再將它變成區(qū)間，即可得到
函數(shù)f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
解答：解：（1）∵=（cosx，0），=（0，sinx）
∴+=（cosx，sinx），得（+）²=3cos²x+sin²x=1+2cos²x
f（x）=（+）²十sin2x=1+2cos²x+sin2x
=cos2x+sin2x+2=2sin（2x+）+2
∴當(dāng)2x+=-+2kπ（k∈Z），即x=-+kπ（k∈Z）時(shí)，f（x）有最小值為0；
（2）令-+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z），
得-+kπ≤x≤+kπ（k∈Z）
∴函數(shù)f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-+kπ，+kπ]，其中k∈Z．
點(diǎn)評(píng)：本題以向量為載體，求三角函數(shù)的最值并討論單調(diào)區(qū)間，著重考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．