Question

如圖（1），△ABC是等腰直角三角形，其中AC=BC=4，E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點(diǎn)，將△AEF沿EF折起，點(diǎn)A的位置變?yōu)辄c(diǎn)A′，已知點(diǎn)A′在平面BCEF上的射影O為EC的中點(diǎn)，如圖（2）所示．

（Ⅰ）求證：EF⊥A′C；
（Ⅱ）求三棱錐F-A'BC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得EF⊥AC，EF⊥A′E，EF⊥EC，從而EF⊥平面A′EC，由此能證明EF⊥A′C．
（Ⅱ）由VF-A′BC=VA′-FBC，利用等積法能求出三棱錐F-A′BC的體積．

解答： （Ⅰ）證明：在△ABC中，EF是等腰直角三角形ABC的中位線，
∴EF⊥AC，
在四棱錐A′-BCEF中，EF⊥A′E，EF⊥EC，
∴EF⊥平面A‘EC，
∴EF⊥A′C．
（Ⅱ）解：在直角梯形EFBC中，
EC=2，BCS△FBC=

1

2

BC×EC=4，
又∵A′O垂直平分EC，∴A′O=

A′E2-EO2

=

3

，
∴三棱錐F-A'BC的體積：
VF-A′BC=VA′-FBC=

1

3

S△FBC•A′O=

1

3

×4×

3

=

4 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．