Question

如圖，正方形ABCD所在平面與四邊形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，F(xiàn)A＝FE，∠AEF＝45°．

(1)求證：EF⊥平面BCE；

(2)設(shè)線段CD，AE的中點(diǎn)分別為P，M，求證：PM∥平面BCE．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，BC⊥AB，所以BC⊥平面ABEF，所以BC⊥EF．又因?yàn)椤鰽BE是等腰直角三角形，AB＝AE，所以∠AEB＝45°． 　　由∠BEF＝∠AEB＋∠AEF＝45°＋45°＝90°，知EF⊥BE． 　　因?yàn)锽C平面BCE，BE平面BCE，BC∩BE＝B， 　　所以EF⊥平面BCE． 　　(2)取BE的中點(diǎn)N，連接CN，MN．因?yàn)镻，M分別是CD，AE的中點(diǎn)，所以MN＝AB＝PC，且MN∥AB∥PC，所以四邊形PMNC為平行四邊形，所以PM∥CN．因?yàn)镃N平面BCE，PM平面BCE，所以PM∥平面BCE． 　　點(diǎn)評(píng)：一般地，線線垂直(平行)或面面垂直(平行)都可轉(zhuǎn)化為線面垂直(平行)．同學(xué)們要學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用判定定理和性質(zhì)定理解決問(wèn)題．