Question

已知橢圓W的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，兩條準線間的距離為6，橢圓的左焦點為F，過左焦點與x軸的交點M任作一條斜率不為零的直線l與橢圓W交于不同的兩點A、B，點A關于x軸的對稱點為C．
（1）求橢圓W的方程；
（2）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)離心率，準線和a，b和c的關系，聯(lián)立方程求得a，b和c，即可求得橢圓的方程；
（2）根據(jù)準線方程可求得M的坐標，設直線l的方程為y=k（x+3），根據(jù)橢圓的第二定義判斷出B，F(xiàn)，C三點共線，即可證得結(jié)論．
解答：（1）解：設橢圓W的方程為：=1（a＞b＞0），由題意可知，a²=b²+c²，2×=6，解得a=，c=2，b=，所以橢圓W的方程為．
（2）證明：因為左準線方程為x=-=-3，所以點M坐標為（-3，0）．
于是可設直線l的方程為y=k（x+3），點A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則點C的坐標為（x₁，-y₁），y₁=k（x₁+3），y₂=k（x₂+3）．
由橢圓的第二定義可得 ==，
所以B，F(xiàn)，C三點共線，即．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的定義與性質(zhì)，解題的關鍵是熟練運用橢圓的定義與性質(zhì)．