Question

已知f（x）=

eax

x

，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）若f（x）是[1，+∞）上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，求函數(shù)f（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（Ⅲ）求證：

n

i=1

1

i•( e )i

＜

7

2e

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可知f′（x）=

eax(ax-1)

x2

≥0在[1，+∞）上恒成立，所以得到ax-1≥0，a≥

1

x

，又

1

x

在[1，+∞）上的最大值是1，所以a≥1，這樣便得到a的取值范圍．
（Ⅱ）先求出a=

1

2

時(shí)，f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)區(qū)間，再討論函數(shù)f（x）在[m，m+1]上的單調(diào)情況，從而求出每一種情況對(duì)應(yīng)的f（x）的最小值．
（Ⅲ）觀察式子

1

i( e )i

，像是

e x 2

x

取的倒數(shù)的情況，又因?yàn)閤＞0時(shí)，

e x 2

x

≥

e

2

，所以

x

e x 2

≤

2

e

．所以

n

i=1

1

i( e )i

=

n

i=1

i

i2( e )i

≤

2

e

n

i=1

1

i2

＜

2

e

(1+

n

i=2

1

i2-1

)=

2

e

[1+

1

2

n

i=2

(

1

i-1

-

1

i+1

)]有些項(xiàng)可以相互抵消，從而完成證明．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知：f′（x）=

eax(ax-1)

x2

≥0在[1，+∞）上恒成立；
∵e^ax＞0，x²＞0；
∴ax-1≥0在[1，+∞）上恒成立；
∴a≥

1

x

在[1，+∞）上恒成立；
∵

1

x

在[1，+∞）上的最大值是1；
∴a≥1．
∴a的取值范圍是：[1，+∞）．
（Ⅱ）a=

1

2

時(shí)，f(x)=

e x 2

x

；
∴f′(x)=

1 2 e x 2 (x-2)

x2

．
∴x＜2，且x≠0時(shí)，f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）和（0，2]上單調(diào)遞減；
x＞2時(shí)，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．
∵m＞0，m+1＞1；
∴①若m+1≤2，即0＜m≤1時(shí)：函數(shù)f（x）在[m，m+1]上單調(diào)遞減；
∴f(x)min=f(m+1)=

e m+1 2

m+1

；
②若m＜2＜m+1，即1＜m＜2時(shí)：函數(shù)f（x）在[m，2]上單調(diào)遞減，在（2，m+1）上單調(diào)遞增；
∴f(x)min=f(2)=

e

2

；
③若m≥2時(shí)：函數(shù)f（x）在[m，m+1]上單調(diào)遞增；
∴f(x)min=f(m)=

e m 2

m

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

e x 2

x

≥

e

2

，∴

x

e x 2

≤

2

e

；
∴

1

n( e )n

=

n

n2( e )n

≤

1

n2

•

2

e

；
∴∴

n

i=1

1

i( e )i

=

1

e

+

1

2( e )2

+…+

1

n( e )n

≤

2

e

(1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)＜

2

e

(1+

1

22-1

+

1

32-1

+…+

1

n2-1

)=

2

e

[1+

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-2

-

1

n

+

1

n-1

-

1

n+1

)]=

2

e

[1+

1

2

(1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

)]＜

2

e

•

7

4

=

7

2e

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，a≥

1

x

(x∈[1，+∞))，只需讓a≥(

1

x

)max即可，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最小值，證明第三問的關(guān)鍵是：由x＞0時(shí)，

e x 2

x

≥

e

2

得到

x

e x 2

≤

2

x

．