已知橢圓的離心率為，直線與以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，、、是橢圓的頂點，是橢圓上除頂點外的任意點，直線交軸于點，直線交于點，設(shè)的斜率為，的斜率為，求證：為定值.

（1）橢圓的方程為；（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）先根據(jù)題中條件求出、、，進(jìn)而可以求出橢圓的方程；（2）先由直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立求出點的坐標(biāo)，然后由、、三點共線，利用平面向量共線進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，求出點的坐標(biāo)，于是得到直線的斜率，最終證明為定值.
試題解析：（1）由直線與圓得，
由，得，所以，
所以橢圓的方程為；
（2）因為，不為橢圓定點，即的方程為，①②
將①代入，解得，
又直線的方程為， ②
由、、三點共線可得，
所以的斜率為，則（定值）.
考點：1.橢圓的方程；2.直線與橢圓的公共點的求解；3.直線的斜率；4.三點共線

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點B與點A（－1,1）關(guān)于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于.
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓：的左、右焦點分別是、，下頂點為，線段的中點為（為坐標(biāo)原點），如圖.若拋物線：與軸的交點為，且經(jīng)過、兩點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)，為拋物線上的一動點，過點作拋物線的切線交橢圓于、兩點，求面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)雙曲線以橢圓的兩個焦點為焦點,且雙曲線的一條漸近線是，
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線交于不同兩點,且都在以為圓心的圓上,求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點，焦點F在軸上，離心率，點在橢圓C上.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若斜率為的直線交橢圓與、兩點，且、、成等差數(shù)列，點M（1,1），求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的一個頂點為，焦點在軸上，若右焦點到直線的距離為3.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點、，當(dāng)時，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

以點F1（－1,0），F(xiàn)2（1,0）為焦點的橢圓C經(jīng)過點（1，）。
（I）求橢圓C的方程；
（II）過P點分別以為斜率的直線分別交橢圓C于A，B，M，N，求證： 使得

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

(本小題滿分12分)已知圓，圓，動圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）是與圓，圓都相切的一條直線，與曲線交于，兩點，當(dāng)圓的半徑最長是，求。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知動點到定點和的距離之和為.
（Ⅰ）求動點軌跡的方程；
（Ⅱ）設(shè)，過點作直線，交橢圓異于的兩點，直線的斜率分別為，證明：為定值.

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