Question

17．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F，點Q（0，2$\sqrt{2}$），F(xiàn)Q的中點在拋物線上．
（1）求拋物線方程；
（2）設直線l：y=kx+m（k，m∈R）與拋物線切于點M，與拋物線的準線交于N，若以MN為直徑的圓過定點R，R到直線l的距離為d，求$\frac{|MN|}r6ez4mq$的最小值及相應的直線方程．

Answer 1

分析 （1）通過拋物線方程y²=2px（p＞0）可知其焦點F（$\frac{1}{2}$p，0），利用中點坐標公式，代入拋物線方程即得結論；
（2）通過（1）可知拋物線的直線方程為x=-1，并與拋物線方程聯(lián)立，利用直線l：y=kx+m（k，m∈R）與拋物線相切可知m與k之間的關系，進而可得M（$\frac{1}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$）、N（-1，$\frac{1-{k}^{2}}{k}$），通過設R（x₁，0），利用$\overrightarrow{RM}$•$\overrightarrow{RN}$=0計算可知R（1，0），利用點到直線的距離公式及兩點間距離公式，結合基本不等式化簡即得結論．

解答 解：（1）依題意，拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F（$\frac{1}{2}$p，0），
又∵點Q（0，2$\sqrt{2}$），
∴FQ的中點（$\frac{1}{4}$p，$\sqrt{2}$），
∴2=$\frac{1}{2}$p²，
又∵p＞0，
∴p=2，
故拋物線方程為y²=4x；
（2）由題意可知拋物線的直線方程為：x=-1，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，整理得：$\frac{k}{4}$y²-y+m=0，
∵直線l：y=kx+m（k，m∈R）與拋物線切于點M，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=0}\\{k≠0}\end{array}\right.$，整理得：$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{m=\frac{1}{k}}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{2•\frac{k}{4}}$=$\frac{2}{k}$，x=$\frac{1}{{k}^{2}}$，即M（$\frac{1}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=kx+\frac{1}{k}}\end{array}\right.$，可知N（-1，$\frac{1-{k}^{2}}{k}$），
由對稱性可知點R在x軸上，設R（x₁，0），則$\overrightarrow{RM}$•$\overrightarrow{RN}$=0，
于是（$\frac{1}{{k}^{2}}$-x₁，$\frac{2}{k}$）•（-1-x₁，$\frac{1-{k}^{2}}{k}$）=0，
整理得：${{x}_{1}}^{2}$+$\frac{{k}^{2}-1}{{k}^{2}}$x₁+$\frac{1-2{k}^{2}}{{k}^{2}}$=0，
解得：x₁=1，或x₁=$\frac{1-2{k}^{2}}{{k}^{2}}$，
故以MN為直徑的圓過定點R（1，0），且d=$\frac{|k+\frac{1}{k}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$，
又∵|MN|=$\sqrt{（\frac{1}{{k}^{2}}+1）^{2}+（\frac{2}{k}-\frac{1-{k}^{2}}{k}）^{2}}$=（1+k²）•$\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$，
∴$\frac{|MN|}uduo141$=（1+k²）•$\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}}}$=$\sqrt{2+{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}}$，
又∵k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$≥2（當且僅當k=±1時取等號），
∴$\frac{|MN|}cjdsk1i$的最小值為2，相應的直線方程為y=x+1或y=-x-1．

點評 本題考查拋物線的簡單性質，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．