Question

2．已知橢圓M：x²+4y²=4．
（Ⅰ）求橢圓M的離心率；
（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在圓x²+y²=2y上且不在y軸上，直線OA與橢圓M相交于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在線段OA上），試判斷是否存在點(diǎn)A使得|AB|=|OC|？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得橢圓的a，b，c，運(yùn)用離心率公式e=$\frac{c}{a}$，計(jì)算即可得到所求值；
（Ⅱ）方法一、設(shè)OA的方程為y=kx，代入圓方程和橢圓方程，運(yùn)用弦長公式，可得|OA|，|BC|，假設(shè)存在點(diǎn)A，使得|AB|=|OC|，則|AO|=|BC|，解方程即可判斷；
方法二、假設(shè)存在點(diǎn)A，使得|AB|=|OC|．由橢圓的對稱性可得|OB|=|OC|，即有|AB|=|OB|，即B為OA的中點(diǎn)，設(shè)B（x，y），則A（2x，2y），分別代入橢圓方程和圓的方程，消去x，解得y的值，分別考慮橢圓的范圍和A的位置，即可判斷是否存在．

解答 解：（Ⅰ）橢圓M：x²+4y²=4即為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
可得a=2，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（Ⅱ）方法一、設(shè)OA的方程為y=kx，
圓x²+y²=2y即x²+（y-1）²=1，圓心為（0，1），半徑為1，
由弦長公式可得|OA|=2$\sqrt{1-（\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）^{2}}$，
將y=kx代入橢圓方程可得（1+4k²）x²=4，
由弦長公式可得|BC|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
假設(shè)存在點(diǎn)A，使得|AB|=|OC|，
則|AO|=|BC|，
即有2$\sqrt{1-（\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
兩邊平方整理可得，7k2+4=0，該方程無解．
故不存在點(diǎn)A，使得|AB|=|OC|．
方法二、假設(shè)存在點(diǎn)A，使得|AB|=|OC|．
由橢圓的對稱性可得|OB|=|OC|，即有|AB|=|OB|，
即B為OA的中點(diǎn)，設(shè)B（x，y），則A（2x，2y），
分別代入橢圓方程和圓的方程，可得
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\\{4{x}^{2}+4{y}^{2}=4y}\end{array}\right.$，消去x，可得（y-1）（3y+4）=0，
可得y=1或y=-$\frac{4}{3}$，
由橢圓方程可得y≠-$\frac{4}{3}$；又A不在y軸上，故y≠1．
故不存在點(diǎn)A，使得|AB|=|OC|．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要是離心率的大小，考查直線和圓方程、橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用弦長公式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．