Question

4．以平面直角坐標系的原點為極點，正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位，設(shè)點A的極坐標為（2，$\frac{π}{6}$），直線l過點A且與極軸成角為$\frac{π}{3}$，圓C的極坐標方程為ρ=$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）寫出直線l參數(shù)方程，并把圓C的方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ） 設(shè)直線l與曲線圓C交于B、C兩點，求|AB|•|AC|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）寫出A的直角坐標，通過傾斜角，得到參數(shù)方程．
（Ⅱ）化簡極坐標方程為直角坐標方程，利用直線參數(shù)方程的幾何意義，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由題知點A的極坐標為（2，$\frac{π}{6}$），的直角坐標為A（$\sqrt{3}，0$），所以直線L過A點傾斜角為$\frac{π}{3}$的參數(shù)方程為
$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t\\ y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t\end{array}\right.$，t為參數(shù)．
因為圓C的極坐標方程為ρ=$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）．所以ρ=cosθ+sinθ，
所以圓C的直角坐標方程為x²+y²-x-y=0．
（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程代到圓C的直角坐標方程中整理得：
t²+（$\frac{3\sqrt{3}-1}{2}$）t+3-$\sqrt{3}$=0設(shè)B，C對應的參數(shù)分別為t₁，t₂
∴|AB|•|AC|=|t₁t₂|=$3-\sqrt{3}$．

點評 本題考查參數(shù)方程與極坐標方程與直角坐標方程的互化，參數(shù)方程的幾何意義，考查計算能力．