Question

19．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知c=2，C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）當2sin2A+sin（2B+C）=sinC時，求△ABC的面積；
（Ⅱ）求△ABC周長的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及三角函數(shù)恒等變換的應用化簡可得2sinAcosA=sinBcosA，分類討論分別求出a，b的值，利用三角形面積公式即可計算得解．
（Ⅱ）由余弦定理及已知條件可得：a²+b²-ab=4，利用基本不等式可得（a+b）²=4+3ab≤4+3$\frac{（a+b）^{2}}{4}$，解得a+b≤4，從而可求周長的最大值．

解答 （本題滿分為15分）
解：（Ⅰ）由2sin2A+sin（2B+C）=sinC，可得：4sinAcosA+sin（B-A）=sin（A+B），可得：2sinAcosA=sinBcosA，…3分
當cosA=0時，A=$\frac{π}{2}$，B=$\frac{π}{3}$，a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，…4分
當cosA≠0時，sinB=2sinA，由正弦定理b=2a，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}-ab=4}\\{b=2a}\end{array}\right.$，解得：a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，…6分
故三角形的面積為S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$…7分
（Ⅱ）由余弦定理及已知條件可得：a²+b²-ab=4，…9分
由（a+b）²=4+3ab≤4+3$\frac{（a+b）^{2}}{4}$，可得：a+b≤4，…13分
故△ABC周長的最大值為6，當且僅當三角形為正三角形時取得…15分

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，三角形面積公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的綜合應用，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想的應用，屬于中檔題．