Question

10．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，若直線AB過F₁，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=|BF₂|，AB⊥BF₂，則橢圓的離心率為$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由橢圓定義可得：|AB|+|BF₂|+|AF₂|=4a，設(shè)|AB|=|BF₂|=m，由于AB⊥BF₂，利用勾股定理可得：2m²=（4a-2m）²，（2a-m）²+m²=4c²，解出即可得出．

解答 解：由橢圓定義可得：|AB|+|BF₂|+|AF₂|=4a，
設(shè)|AB|=|BF₂|=m，∵AB⊥BF₂，
則2m²=（4a-2m）²，（2a-m）²+m²=4c²，
解得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、勾股定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．