Question

3．已知函數(shù)y=tan（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）．
（1）作出此函數(shù)在一個(gè)周期開區(qū)間上的簡圖；
（2）求出此函數(shù)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間；
（3）寫出此函數(shù)圖象的漸近線方程和所有對稱中心的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用五點(diǎn)作圖法即可作出此函數(shù)在一個(gè)周期開區(qū)間上的簡圖；
（2）根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)即可求出此函數(shù)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間；
（3）根據(jù)漸近線方程和所有對稱中心的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）作出此函數(shù)在一個(gè)周期開區(qū)間上的簡圖；

$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$	-$\frac{π}{2}$	-$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$
x	-$\frac{2π}{3}$	-$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{3}$	π	$\frac{4π}{3}$
y	-∞	-$\sqrt{3}$	0	$\sqrt{3}$	+∞

則對應(yīng)的圖象如圖：

（2）由$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$≠kπ+$\frac{π}{2}$，得x≠2kπ+$\frac{4π}{3}$，
即函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠2kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈Z}，
函數(shù)的周期T=$\frac{π}{\frac{1}{2}}=2π$．
由kπ-$\frac{π}{2}$＜$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得2kπ-$\frac{2π}{3}$＜x＜2kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈Z，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（2kπ-$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{4π}{3}$），k∈Z；
（3）由$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，得x=2kπ+$\frac{4π}{3}$，
即函數(shù)圖象的漸近線方程為x=2kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈Z，
由$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$=$\frac{kπ}{2}$得x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z
即所有對稱中心的坐標(biāo)為（kπ+$\frac{π}{3}$，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握正切函數(shù)的定義域，單調(diào)性，周期以及對稱性的性質(zhì)．