Question

15．若∠APB=∠BPC=∠CPA=60°，則直線PA與平面PBC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 在PA上任選一點(diǎn)Q，過Q作QO⊥平面PBC于O點(diǎn)，連結(jié)PO，說明∠QPO即為PA與平面PBC所成的角，通過求解三角形的數(shù)據(jù)求解cos∠APO．

解答 解：如圖所示，在PA上任選一點(diǎn)Q
過Q作QO⊥平面PBC于O點(diǎn)，連結(jié)PO由于∠APB=∠APC=60°
∴PO為∠BPC的平分線，∠QPO即為PA與平面PBC所成的角
∠BPO=30°
作OH⊥PB于H，連QH
根據(jù)三垂線定理，QH⊥PH
RT△QPH中，∠QPH=60°，PQ=2PH
RT△OPH中，PO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}PH$
RT△QPO中
cos∠APO=$\frac{PO}{QP}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}PH}{2PH}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．