Question

f（x）=3^x+2，f（a+2）=162，h（x）=λ•3^ax-4^x在區(qū)間[0，1]上是單調(diào)減函數(shù)，則λ范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件求得3^a=2，可得h（x）=λ•2^x-4^x．令2^x=t，可得t∈[1，2]，h（x）=m（t）=-t²+λt，根據(jù)二次函數(shù)m（t）的圖象的對(duì)稱軸方程為t=

λ

2

，且m（t）在[1，2]上單調(diào)遞減，可得

λ

2

≤1，由此求得λ范圍．

解答： 解：∵f（x）=3^x+2，f（a+2）=3^a+4=162，∴3^a=2，∴h（x）=λ•3^ax-4^x=λ•2^x-4^x．
令2^x=t，由x∈[0，1]，可得t∈[1，2]，h（x）=m（t）=-t²+λt，
顯然二次函數(shù)m（t）的圖象的對(duì)稱軸方程為t=

λ

2

，且m（t）在[1，2]上單調(diào)遞減，∴

λ

2

≤1，
求得λ≤2，
故答案為：（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．