Question

18．已知命題p：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+x在R上無極值，q：函數(shù)f（x）=x³-3x-a在（0，2）上兩個不等的零點，
若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p為真時，求f′（x）=x²-ax+1，f（x）在R上無極值，從而△≤0，從而可得到-2≤a≤2；命題q為真時，求f′（x）=3（x²-1），f（x）在（0，2）上有兩個不等零點，從而得到$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（1）＜0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，這樣可求得0＜a＜2．根據(jù)條件可知p真q假，或p假q真，分別求出這兩種情況下a的取值范圍再求并集即可．

解答 解：命題p：f′（x）=x²-ax+1，則：f′（x）≥0在R上恒成立；
∴△=a²-4≤0；
∴-2≤a≤2；
命題q：f′（x）=3（x²-1）；
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增，∴根據(jù)條件可畫出f（x）在（0，2）上的圖象如下：
由圖象可知：
$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=-a＞0}\\{f（1）=-2-a＜0}\\{f（2）=2-a＞0}\end{array}\right.$；
解得-2＜a＜0；
由于p∨q為真命題，p∧q為假命題，則p，q必定為一真一假；
所以$\left\{\begin{array}{l}{-2≤a≤2}\\{a≤-2，或a≥0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a＜-2，或a＞2}\\{-2＜a＜0}\end{array}\right.$；
∴a=-2或0≤a≤2；
∴實數(shù)a的取值范圍為{a|0≤a≤2，或a=-2}．

點評 考查函數(shù)極值的概念，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)極值的方法，二次函數(shù)取值和判別式△的關(guān)系，以及函數(shù)零點的概念，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及數(shù)形結(jié)合解題的方法．