Question

12．已知函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，g（x）是R上的奇函數(shù)，且g（x）=f（x-1），若f（2）=2，則f（2010）的值為2．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性及題設(shè)中關(guān)于g（x）與f（x-1）關(guān)系式，轉(zhuǎn)換成關(guān)于f（x）的關(guān)系式，進(jìn)而尋求解決問題的突破口，從函數(shù)的周期性方面加以以考查：f（x）為周期函數(shù)即得．

解答 解：由g（x）=f（x-1），x∈R，得f（x）=g（x+1）．
又f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），
故有f（x）=f（-x）=g（-x+1）=-g（x-1）=-f（x-2）=-f（2-x）=-g（3-x）=g（x-3）=f（x-4）
也即f（x+4）=f（x），x∈R．
∴f（x）為周期函數(shù)，其周期T=4．
∴f（2010）=f（4×502+2）=f（2）=2．
故答案為：2．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用．應(yīng)靈活掌握和運(yùn)用函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)．