Question

2．△ABC中，sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列，且2cos2B=8cosB-5，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 由二倍角的余弦公式化簡2cos2B=8cosB-5并求出cosB，由B的范圍求出角B，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)、正弦定理、余弦定理化簡條件，得三角形邊的關(guān)系，結(jié)合角B的值可確定三角形形狀．

解答 解：由2cos2B=8cosB-5得，4cos²B-8cosB+3=0，
則（2cosB-1）（2cosB-3）=0，
解得cosB=$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$（舍去），
∵0＜B＜π，∴B=$\frac{π}{3}$，
∵sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列，
∴2sinB=sinA+sinC，由正弦定理得a+c=2b，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，則$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{（\frac{a+c}{2}）}^{2}}{2ac}=\frac{1}{2}$，
化簡得a²+c²-2ac=0，解得a=c，
又B=$\frac{π}{3}$，則A=B=C=$\frac{π}{3}$，即△ABC是等邊三角形．

點(diǎn)評 本題考查二倍角的余弦公式，等差中項(xiàng)的性質(zhì)，正弦定理、余弦定理等，屬于中檔題．