Question

18．已知f（x）=ax²-e^x（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時，令h（x）=f′（x），求h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x＞0時，f（x）有極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時，f（x）=x²-e^x．令h（x）=f′（x）=2x-e^x，h′（x）=2-e^x，利用單調(diào)性可得ln2是函數(shù)h（x）的極大值點(diǎn)，進(jìn)而得出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）f′（x）=2ax-e^x，令f′（x）=2ax-e^x=0，解得a=$\frac{{e}^{x}}{2x}$=g（x），（x＞0）．g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{2{x}^{2}}$，利用單調(diào)性即可得出極值，進(jìn)而得出a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=x²-e^x．
令h（x）=f′（x）=2x-e^x，
h′（x）=2-e^x，當(dāng)x＞ln2時，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＜ln2時，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增．
∴l(xiāng)n2是函數(shù)h（x）的極大值點(diǎn)，
∴h（x）=f′（x）≤h（ln2）=2ln2-2＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，函數(shù)f（x）無單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）f′（x）=2ax-e^x，令f′（x）=2ax-e^x=0，解得a=$\frac{{e}^{x}}{2x}$=g（x），（x＞0）．
g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{2{x}^{2}}$，當(dāng)x＞1時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時，函數(shù)g（x）取得極小值即最小值，g（1）=$\frac{e}{2}$．
∴$a≥\frac{e}{2}$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[\frac{e}{2}，+∞）$．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．