Question

拋物線C₁：x²=2y的焦點為F，以F為圓心C₂交C₁于A，B兩點，交C₁準線于C，D兩點，若四邊形ABCD是矩形，則C₂的標準方程為（　�。�

• A、x²+（y-

  1

  2

  ）²=4
• B、（x-

  1

  2

  ）²+y²=4
• C、x²+（y-

  1

  2

  ）²=2
• D、（x-

  1

  2

  ）²+y²=2

Answer 1

考點：圓與圓錐曲線的綜合

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出拋物線的焦點坐標，四邊形ABCD是矩形，且BD為直徑，AC為直徑，F(0，

1

2

)為圓C₂的圓心，通過點F到直線CD的距離與點F到AB的距離相等，求出直線AB的方程為：y=

3

2

，然后求出半徑，即可得到圓的方程．

解答： 解：依題意，拋物線C₁：x²=2y的焦點為F(0，

1

2

)，
∴圓C₂的圓心坐標為F(0，

1

2

)，
∵四邊形ABCD是矩形，且BD為直徑，AC為直徑，F(0，

1

2

)為圓C₂的圓心
∴點F為該矩形的兩條對角線的交點，
∴點F到直線CD的距離與點F到AB的距離相等，
又點F到直線CD的距離為p=1∴直線AB的方程為：y=

3

2

∴A(

3

，

3

2

)
∴圓C₂的半徑r=|AF|=

( 3 -0)2+( 3 2 - 1 2 )2

=2
∴圓C₂的方程為：x2+(y-

1

2

)2=4

點評：本題考查拋物線分簡單性質圓的標準方程的求法，直線與圓的位置關系，考查分析問題解決問題的能力．