Question

傳染性非典型性肺炎（簡稱“非典“）是一種急性傳染�。�某市在2003年4月發(fā)生了非典疫情，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，4月1日，該市的新感染者為20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者多10人．由于該市各部門通力合作，采取隔離措施（還沒有特效藥問世），使非典的傳播得到了控制．從某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者少8人，到4月30日止，該市在這30日內(nèi)感染該病的患者共有2196人．問：4月幾日該市感染該病的人數(shù)最多？求這一天的新感染人數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意知前n天流感病毒新感染者的人數(shù)，構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為20，公差為10的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出一個(gè)感染的總?cè)藬?shù)，而后30-n天的流感病毒新感染者的人數(shù)，公差為-8，項(xiàng)數(shù)為30-n的等差數(shù)列，寫出感染的總?cè)藬?shù)，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出所求．

解答： 解：設(shè)從4月1日，該市第n日（n∈N^*，1≤n≤30）感染此病毒的新患者人數(shù)最多．
則從4月1日至第n日，每日感染此病毒的新患者人數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，其首項(xiàng)為20，公差為10．
所以前n日患者總?cè)藬?shù)S_n=20n+

n(n-1)

2

×10=5n²+15n，
從第n+1日開始至4月30日止，每日感染此病毒的新患者人數(shù)依次構(gòu)成另一個(gè)等差數(shù)列．
其首項(xiàng)為20+（n-1）×10-8=10n+2，公差為-8，項(xiàng)數(shù)為（30-n），
其患者總?cè)藬?shù)為T_30-n=（30-n）（10n+2）+

(30-n)(29-n)

2

×（-8）
=-14n²+534n-3420，
由題意可得S_n+T_30-n=2196，即（5n²+15n）+（-14n²+534n-3420）=2196，
化為9n²-549n+5616=0，即n²-61n+624=0，解得n=13（1≤n≤30）．
∴n=13，第13日的新患者人數(shù)為20+（13-1）×10=140．
∴4月13日該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多，且這一天患者人數(shù)為140．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式，解數(shù)學(xué)問題應(yīng)用題重點(diǎn)在過好三關(guān)：（1）閱讀理解，知道命題所表達(dá)的內(nèi)容；（2）將“問題情景”中的文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，用數(shù)學(xué)關(guān)系式表述事件；（3）由題意建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，并解答這一數(shù)學(xué)模型，得出符合實(shí)際意義的解答．