Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-4|+|x-a|，x∈R．
（1）證明：當(dāng)a=1時(shí)，不等式lnf（x）＞1成立；
（2）關(guān)于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式

分析：（1）由絕對(duì)值的幾何意義德|x-1|+|x-4|≥3，問題即得以證明．
（2）利用絕對(duì)值三角不等式可得f（x）=|x-4|+|x-a|≥|（x-4）-（x-a）|=|a-4|，依題意可得|a-4|≥a，解之即可．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x-4|+|x-1|的最小值為3，
∴f（x）≥3＞e，所以
lnf（x）＞1成立；

（2）由絕對(duì)值的性質(zhì)得
f（x）=|x-4|+|x-a|≥|（x-4）-（x-a）|=|a-4|，
所以f（x）最小值為|a-4|，從而|a-4|≥a，解得a≤2，因此a的最大值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．