Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4．DE∥BC，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁D⊥CD，如圖2．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）若CD=2，求平面A₁BE與平面A₁BC所成二面角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,用空間向量求平面間的夾角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得AD=DE，A₁D⊥DE，從而A₁D⊥面BCDE，從而A₁D⊥BC，BC⊥CD，由此能證明BC⊥面A₁DC．（Ⅱ）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出平面A₁BE與平面A₁BC所成二面角的大小為90°．

解答： （Ⅰ）證明：在△ABC中，∠C=90°，DE∥BC，
∴AD=DE，∴A₁D⊥DE．
又A₁D⊥CD，CD∩DE=D，∴A₁D⊥面BCDE．
由BC?面BCDE，得A₁D⊥BC，
BC⊥CD，CD∩BC=C，∴BC⊥面A₁DC．…5分
（Ⅱ）解：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
取A₁C的中點(diǎn)F，連DF，
則D（0，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），A₁（0，0，2），F(xiàn)（0，1，1），
∵AD=DC=2，∴DF⊥A₁C，
由（1）可知，DF⊥BC，從而DF⊥平面A₁BC，
∴

DF

為平面A₁BC的法向量，

DF

=（0，1，1），
又

A1B

=（2，2，-2），

BE

=（-1，-2，0），
設(shè)平面A₁BE的法向量為

n

=（x，y，z），
由

n • A1B =2x+2y-2z=0 n • BE =-x-2y=0

，取z=1，得

n

=（2，-1，1），
∵

n

•

DF

=0，
∴平面A₁BE與平面A₁BC所成二面角的大小為90°．…12分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．