Question

數(shù)列的前項(xiàng)和為，，函數(shù)．

（1）求的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，；

（3）求證：．

 

Answer 1

（1）、；（2）證明：當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，所以；（3）證明：由（2）知，，所以.

令 ① ②

②-①整理得，故.

【解析】

試題分析：（1）首先令，由可得；然后根據(jù)公式，并將題設(shè)中的等式代入化簡(jiǎn)整理得判斷出數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得；（2）證明函數(shù)，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，即可得出結(jié)論；（3）利用放縮法，結(jié)合錯(cuò)位相減法，即可證明結(jié)論．

試題解析：（1）【解析】
時(shí)，，所以.又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720065241941688/SYS201411172007016854355209_DA/SYS201411172007016854355209_DA.021.png">，所以當(dāng)時(shí)，，即，即，故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，也滿足上式．故.

（2）證明：當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，所以；

（3）證明：由（2）知，，

所以.

令 ① ②

②-①整理得，故.

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列的求和．