Question

已知函數(shù)f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若a≥2-4ln2，求證：函數(shù)f（x）在（0，

1

2

）上無(wú)零點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）將a=1代入，利用導(dǎo)數(shù)法，分析函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而可得f（x）的最小值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)法，分析函數(shù)f（x）的單調(diào)性，由a≥2-4ln2，可得f（x）在（0，

1

2

）上為減函數(shù)，進(jìn)而由f（

1

2

）≥0得到結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=（x-1）-2lnx．
f′（x）=1-

2

x

，
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，2）上為減函數(shù)，在（2，+∞）上為增函數(shù)，
故當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取最小值1-2ln2；
證明：（2）∵f′（x）=（2-a）-

2

x

，
當(dāng)0＜x＜

2

2-a

時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞

2

2-a

時(shí)，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，

2

2-a

）上為減函數(shù)，在（

2

2-a

，+∞）上為增函數(shù)，
若a≥2-4ln2，則

2

2-a

＞

1

2

故當(dāng)x=

1

2

時(shí)，函數(shù)取最小值-1+

1

2

a+2ln2≥0；
即函數(shù)f（x）在（0，

1

2

）上無(wú)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)零點(diǎn)的判定，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，是函數(shù)零點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．