Question

設(shè)a，b為正實數(shù)，現(xiàn)有下列命題：
①若|

a

-

b

|=1，則|a-b|＜1；
②若

1

b

-

1

a

=1，則a-b＜1；
③若a²-b²=1，則a-b＜1；
④若|a³-b³|=1，則|a-b|＜1．
其中的真命題的個數(shù)為

 

．

Answer 1

考點：不等式的基本性質(zhì)

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：①取a=4，b=1滿足條件|

a

-

b

|=1，即可判斷出；
②取a=3，b=

3

4

滿足條件

1

b

-

1

a

=1，即可判斷出；
③由已知可得0＜a-b＜a+b，可得a-b=

1

a+b

＜1；
④由已知不妨設(shè)a＞b＞0，可得a²+ab+b²＞a²-2ab+b²＞0，進(jìn)而得到a³-b³＞（a-b）³＞0，即可判斷出．

解答： 解：①若|

a

-

b

|=1，取a=4，b=1滿足條件，而|a-b|=3＞1，因此①不正確；
②若

1

b

-

1

a

=1，取a=3，b=

3

4

滿足條件，則a-b＞1，因此不正確；
③∵a²-b²=1，∴（a-b）（a+b）=1，
∵a＞0，b＞0，∴0＜a-b＜a+b，
∴a-b=

1

a+b

＜1，因此正確；
④∵|a³-b³|=1，a＞0，b＞0，
∴a≠b，不妨設(shè)a＞b＞0．
∴a²+ab+b²＞a²-2ab+b²＞0，
∴（a-b）（a²+ab+b²）＞（a-b）（a-b）²
即a³-b³＞（a-b）³＞0．
∴1=|a³-b³|＞（a-b）³＞0，
∴0＜a-b＜1，
即|a-b|＜1．因此正確．
綜上可知：只有③④正確．
故答案為：2．

點評：本題考查了不等式的性質(zhì)、取特殊值否定一個命題的方法等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．