Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx（a為常數(shù)且a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，若$\frac{1}{2}$x²+lnx+b＜$\frac{2}{3}$x³恒成立，求實(shí)常數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的解析式和定義域，由求導(dǎo)公式和法則求出f′（x），由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由條件分離出常數(shù)b，再構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{2}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-lnx，求出g′（x）后通過(guò)化簡(jiǎn)判斷出符號(hào)，可得g（x）d的單調(diào)性以及值域，即可求出b的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx，
則f（x）的定義域是（0，+∞），$f′（x）=x-\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$，
由f′（x）=0得x=±1，
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＜-1或x＞1時(shí)，f′（x）＞0，
所以f（x）在（-1，1）上遞減，在（-∞，-1），（1，+∞）上遞增；
（2）由當(dāng)x＞1時(shí)$\frac{1}{2}$x²+lnx+b＜$\frac{2}{3}$x³恒成立得，
當(dāng)x＞1時(shí)，b＜$\frac{2}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-lnx恒成立，
設(shè)g（x）=$\frac{2}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-lnx，則g′（x）=2${x}^{2}-x-\frac{1}{x}$
=$\frac{2{x}^{3}-{x}^{2}-1}{x}$=$\frac{{x}^{3}-{x}^{2}+{x}^{3}-1}{x}$=$\frac{{x}^{2}（x-1）+（x-1）（{x}^{2}+x+1）}{x}$
=$\frac{（x-1）（2{x}^{2}+x+1）}{x}$，
因?yàn)閤＞1，所以x-1＞0，
又2x²+x+1=$2{（x+\frac{1}{4}）}^{2}+\frac{7}{8}$＞0，則$\frac{（x-1）（2{x}^{2}+x+1）}{x}＞$0
所以g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）在（1，+∞）上遞增，
則g（x）＞g（1）=$\frac{1}{6}$，
所以b≤$\frac{1}{6}$，故b的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{6}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求導(dǎo)公式和法則，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分離常數(shù)法，以及恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．