Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2}$（n≥2，n∈N）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$，數(shù)列}{b_n}的前n項(xiàng)和記為T_n，求證：對任意的n∈N^*，T_n＜$\frac{7}{12}$．

Answer 1

分析 （1）首先可判斷a_n＞0恒成立，從而化簡$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2（1+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$），從而求得a_n=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}-1}$；
（2）化簡b_n=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}+1}$，從而寫出T_n=$\frac{1}{3+1}$+$\frac{1}{3•2+1}$+…+$\frac{1}{3•{2}^{n-1}+1}$＜$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3•2}$+$\frac{1}{3•{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{3•{2}^{n-1}}$，從而證明．

解答 （1）解：∵a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2}$，
∴a_n＞0恒成立；
$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}+2}{{a}_{n-1}}$=1+$\frac{2}{{a}_{n-1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2（1+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$），
且1+$\frac{1}{{a}_{1}}$=3，
故{$\frac{1}{{a}_{n}}$+1}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
即$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=3•2^n-1，
故a_n=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}-1}$；
（2）證明：∵b_n=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}+1}$，
∴T_n=$\frac{1}{3+1}$+$\frac{1}{3•2+1}$+…+$\frac{1}{3•{2}^{n-1}+1}$
＜$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3•2}$+$\frac{1}{3•{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{3•{2}^{n-1}}$
=$\frac{1}{4}$+$\frac{\frac{1}{6}（1-（\frac{1}{2}）^{n-1}）}{1-\frac{1}{2}}$＜$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{7}{12}$．

點(diǎn)評 本題考查了通過構(gòu)造新數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法應(yīng)用及放縮法證明不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．