Question

15．在等差數(shù)列{a_n}中，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，滿足a₅=-1，S₈=-12
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求前n項(xiàng)和S_n，并指出當(dāng)n為何值時(shí)，S_n取最小值；
（3）若T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求T_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)聯(lián)立a₅=-1、S₈=-12，計(jì)算即可；
（2）通過(guò)公式求和，結(jié)合二次函數(shù)的最值，計(jì)算即可；
（3）通過(guò)令a_n=n-6≥0得n≥6，分n≤5與n≥6兩種情況計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵${a_5}={a_1}+4d=-1，{S_8}=8{a_1}+\frac{8×7}{2}d=-12$，
∴a₁=-5，d=1，
∴a_n=n-6；
（2）∵a₁=-5，a_n=n-6，
∴${S_n}=\frac{{n（{-5+n-6}）}}{2}=\frac{1}{2}{n^2}-\frac{11}{2}n$，
而$\frac{1}{2}$n²-$\frac{11}{2}$n=$\frac{1}{2}$（n-$\frac{11}{2}$）²-$\frac{1}{2}•$$\frac{121}{4}$，
∵S₅=$\frac{1}{2}•25-\frac{11}{2}•5$=-15，
S₆=$\frac{1}{2}•36-\frac{11}{2}•6$=-15，
∴當(dāng)n為5或6時(shí)，S_n取最小值；
（3）令a_n=n-6≥0，則n≥6，
$當(dāng)n≤5時(shí)，{T_n}=-{a_1}-{a_2}-…-{a_n}=-{S_n}=-\frac{1}{2}{n^2}+\frac{11}{2}n$，
當(dāng)n≥6時(shí)，T_n=-a₁-a₂-a₃-a₄-a₅+a₆+a₇+…+a_n=$-2{S_5}+{S_n}=\frac{1}{2}{n^2}-\frac{11}{2}n+30$，
綜上，${T_n}=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}{n^2}+\frac{11}{2}n\;\;（{n≤5}）\\ \frac{1}{2}{n^2}-\frac{11}{2}n+30\;\;（{n≥6}）\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)、求和及和的最值，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．